Разумевање модела одређивања цене биномних опција

Одређивање цена акција

Договорити се тачне цене било којег трговачког средства је изазовно - зато се цене акција стално мењају. У стварности, компаније тешко мењају своје процене из дана у дан, али се цене акција и процене вредности мењају готово сваке секунде. Ова тешкоћа у постизању консензуса о исправном одређивању цене било које трговачке имовине доводи до краткотрајних арбитражних прилика.

Али много успешног улагања своди се на једноставно питање данашње процене вредности - која је данас права цена за очекивано будуће отплату?

Вредновање биномних опција

На конкурентном тржишту, да би се избегле могућности арбитраже, средства са идентичним структурама отплате морају имати исту цену. Процјена опција је била изазован задатак, а варијације цијена воде до арбитражних прилика. Блацк-Сцхолес остаје један од најпопуларнијих модела који се користи за опције цена, али има ограничења.

Модел одређивања цене биномних опција је још један популаран метод који се користи за опције одређивања цена.

Примери

Претпоставимо да постоји опција позива на одређеној акцији са тренутном тржишном ценом од 100 УСД. Опција „ат-тхе-монеи“ (АТМ) има штрајкачку цену од 100 УСД са временом који истиче на годину дана. Постоје два трговца, Петер и Паула, који се слажу да ће цена акција или порасти на 110 долара или пасти на 90 долара за годину дана.

Они се слажу о очекиваним нивоима цена у датом временском оквиру од једне године, али не слажу се са вероватноћом померања према горе или доле. Петер верује да је вероватноћа да цена акција крене до 110 долара 60%, док Паула верује да је 40%.

На основу тога, ко би био спреман да плати више цене за опцију позива? Вероватно и Петер, јер очекује велику вероватноћу за успон.

Калкулације биномних опција

Две имовине, од којих процена зависи, су опција позива и основни сталеж. Међу учесницима постоји договор да се основна цена акција може пребацити са садашњих 100 на 110 или 90 долара у једној години и нису могућа друга померања цена.

У свету без арбитраже, ако морате да створите портфељ који се састоји од ове две имовине, позива и основног става, тако да без обзира на то где иде основна цена - 110 или 90 долара - нето принос на портфељу увек остаје исти. Претпоставимо да купујете „д“ акције основних и кратких опција за један позив да бисте створили овај портфељ.

Ако цена крене на 110 УСД, ваше акције ће бити вредне 110 * д, а изгубићете 10 УСД на исплати за кратки позив. Нето вредност вашег портфеља биће (110д - 10).

Ако цена падне на 90 УСД, ваше акције ће вриједити $ 90 * д, а опција истјече безвриједно. Нето вредност вашег портфеља биће (90д).

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} х (д) - м = л (д) \\ где: \\ х = Највећа потенцијална основна цена \\ д = Број основних акција \\ м = Новац изгубљен на исплати за кратке позиве \\ л = Најнижа потенцијална основна цена \end{matrix} \ старт {усклађено} & х (д) - м = л (д) \ & \ тектбф {где:} \ & х = \ текст {Највећа потенцијална основна цена} \ & д = \ текст {Број основних дионица} \ & м = \ тект {Изгубљени новац на исплати за кратки позив} \ & л = \ тект {Најнижа потенцијална основна цијена} \ \ крај {усклађено}$ Х (д) −м = л (д) где је: х = највећа потенцијална основна цена = број основних дионицам = новац изгубљен на исплати кратким позивима = најнижа потенцијална основна цена

Дакле, ако купите половину деоница, под претпоставком да су могуће делите куповине, успећете да створите портфељ тако да његова вредност остане иста у оба могућа стања у датом року од једне године.

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} 110 д - 10 = 90 д \\ д = \frac{1}{2} \end{matrix} \ почетак {поравнање} & 110д - 10 = 90д \\ & д = \ фрац {1} {2} \ \ крај {поравнато}$ 110д − 10 = 90дд = 21

Вриједност овог портфеља, назначена са (90д) или (110д - 10) = 45, је једна година према доље. Да би се израчунала његова садашња вредност, може се дисконтирати стопом приноса без ризика (под претпоставком 5%).

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Садашња вредност & = 90 д \times е^{(- 5 % \times 1 Година)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ почетак {поравнање} текст {садашња вредност} & = 90д \ пута е ^ {(-5 \% \ пута 1 \ текст {година})} \ & = 45 \ пута 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ крај {усклађено}$ Садашња вредност = 90д × е (−5% × 1 година) = 45 × 0.9523 = 42.85

Будући да се тренутно портфељ састоји од ½ удјела подножја (са тржишном цијеном од 100 УСД) и једним кратким позивом, требао би бити једнак садашњој вриједности.

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Цена позива = $ 42.85 \\ Цена позива = $ 7.14, односно данашње цене позива \end{matrix} \ почетак {поравнање} & \ фрац {1} {2} пута 100 - 1 \ пута \ текст {цена позива} = \ 42, 85 $ \\ & \ текст {цена позива} = \ 7, 14 $ \ текст {, тј. цена позива од данас} \ \ крај {усклађено}$ 21 × 100−1 × Цена позива = 42, 85 УСДЦалл цена = 7, 14 УСД, тј. Цена позива данас

Будући да се то заснива на претпоставци да вредност портфеља остаје иста без обзира на то како иде основна цена, вероватноћа померања према горе или надоле не игра никакву улогу. Портфељ остаје без ризика без обзира на основна кретања цена.

У оба случаја (претпоставља се да се крећу на 110 УСД и према доле на 90 УСД), ваш портфељ је неутралан према ризику и остварује принос без ризика.

Дакле, и трговци, Петер и Паула, били би спремни платити исту 7, 14 УСД за ову опцију позива, упркос различитој перцепцији вероватноће повећања (60% и 40%). Њихове појединачно уочене вероватноће нису битне за процену опција.

Претпостављајући уместо да су појединачне вероватноће важне, могућности арбитраже су се можда саме представиле. У стварном свету такве могућности арбитраже постоје уз мање разлике у ценама и нестају у кратком року.

Али где је велико хипертибилност у свим тим прорачунима важан и осетљив фактор који утиче на цене опција?

Испарљивост је већ укључена у природу дефиниције проблема. Под претпоставком да су два (и само два - отуда и назив „биномна“) нивоа цена (110 УСД и 90 УСД), волатилност је подразумевана у овој претпоставци и аутоматски се укључује (10% било који пут у овом примеру).

Блацк-Сцхолес

Али да ли је овај приступ исправан и кохерентан са уобичајеним ценама Блацк-Сцхолес-а? Резултати калкулатора опција (љубазношћу ОИЦ-а) уско се поклапају с израчунатом вриједношћу:

Нажалост, стварни свет није тако једноставан као "само две државе". Залиха може достићи неколико нивоа цена пре истека рока.

Да ли је могуће укључити све ове више нивое у модел биномних цена који је ограничен на само два нивоа? Да, то је врло могуће, али за разумевање је потребна једноставна математика.

Симпле Матх

Да бисте генерализовали овај проблем и решење:

"Кс" је тренутна тржишна цена акције, а "Кс * у" и "Кс * д" су будуће цене за кретања према горе и доле "т" годинама касније. Фактор "у" биће већи од један, јер указује на помицање према горе, а "д" ће лежати између нуле и једног. За горњи пример, у = 1.1 и д = 0.9.

Исплате опције позива су „П _уп “ и „П _дн “ за _{померања} према горе и доле у тренутку истека.

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ВУМ = с \times Икс \times у - П_{горе} \\ где: \\ ВУМ = Вриједност портфеља у случају помака нагоре \end{matrix} \ почетак {поравнање} & \ текст {ВУМ} = с \ пута Кс \ пута у - П_ \ текст {горе} \ & \ тектбф {где:} \ & \ текст {ВУМ} = \ текст {Вредност портфеља у случају померања према горе} \ \ крај {усклађено}$ ВУМ = с × Кс × у-Пуп гдје: ВУМ = Вриједност портфеља у случају помицања према горе

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ВДМ = с \times Икс \times д - П_{доле} \\ где: \\ ВДМ = Вредност портфеља у случају пада \end{matrix} \ почетак {поравнање} & \ текст {ВДМ} = с \ пута Кс \ пута д - П_ \ текст {доле} \ & \ тектбф {где:} \ & \ текст {ВДМ} = \ текст {Вредност портфеља у случају померања надоле} \ \ крај {усклађено}$ ВДМ = с × Кс × д − Пдовн где: ВДМ = вредност портфеља у случају помицања надоле

За слично вредновање у оба случаја кретања цена:

Сігналы абмеркавання $с \times Икс \times у - П_{горе} = с \times Икс \times д - П_{доле} с \ пута Кс \ пута у - П_ \ текст {уп} = с \ пута Кс \ пута д - П_ \ текст {доле}$ с × Кс × у − Пуп = с × Кс × д − Пдовн

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} с & = \frac{П_{горе} - П_{доле}}{Икс \times (у - д)} \\ = Број акција за куповину \\ портфељ без ризика \end{matrix} \ почетак {поравнање} с & = \ фрац {П_ \ текст {горе} - П_ \ текст {доле}} {Кс \ пута (у - д)} \ & = \ текст {Број деоница за куповину за} \ & \ пхантом {=} текст {портфељ без ризика} \ \ крај {усклађено}$ с = Кс × (у − д) Пуп −Пдовн = Број акција за куповину = портфељ без ризика

Будућа вредност портфеља на крају „т“ година биће:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} У случају померања & = с \times Икс \times у - П_{горе} \\ = \frac{П_{горе} - П_{доле}}{у - д} \times у - П_{горе} \end{matrix} \ почетак {поравнање} текст {У случају померања} & = с \ пута Кс \ пута у - П_ \ текст {горе} \ & = \ фрац {П_ \ текст {горе} - П_ \ текст {доле} } {у - д} пута у - П_ \ текст {горе} \ \ крај {поравнано}$ У случају премјештања = с × Кс × у − Пуп = у − дПуп −Пдовн × у − Пуп

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} У случају Довн Довн & = с \times Икс \times д - П_{доле} \\ = \frac{П_{горе} - П_{доле}}{у - д} \times д - П_{доле} \end{matrix} \ почетак {поравнање} текст {У случају померања према доле} & = с \ пута Кс \ пута д - П_ \ текст {доле} \ & = \ фрац {П_ \ текст {горе} - П_ \ текст {доле} } {у - д} пута д - П_ \ текст {доле} \ \ крај {поравнато}$ У случају Довн Мове = с × Кс × д − Пдовн = у − дПуп −Пдовн × д − Пдовн

Данашњу вредност можете добити тако што ћете је дисконтирати са стопом поврата без ризика:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ПВ = е (- р т) \times \\ где: \\ ПВ = Вредност данашњег дана \\ р = Стопа поврата \\ т = Време, у годинама \end{matrix} \ почетак {поравнање} & \ текст {ПВ} = е (-рт) пута \ лево \\ & \ тектбф {где:} \ & \ текст {ПВ} = \ текст {Вредност данашњег дана} \ & р = \ текст {Стопа поврата} \ & т = \ текст {Време, у годинама} \ \ крај {поравнато}$ ПВ = е (−рт) × где је: ПВ = вредност тренутног вредности = стопа повратника = време, у годинама

Ово би требало да одговара портфељу држања „с“ акција по цени Кс, а вредност кратког позива „ц“ (данашње држање (с * Кс - ц) треба да се изједначи са овом рачуницом.) Решавање за „ц“ на крају даје као:

Напомена: Ако је премија позива смањена, то би требало да буде додатак портфељу, а не одузимање.

Сігналы абмеркавання $ц = \frac{е (- р т)}{у - д} \times ц = \ фрац {е (-рт)} {у - д} пута$ ц = у-де (−рт) ×

Други начин за писање једначине је преуређивањем:

Узимање „к“ као:

Сігналы абмеркавання $к = \frac{е (- р т) - д}{у - д} к = \ фрац {е (-рт) - д} {у - д}$ к = у-де (−рт) −д

Тада једначина постаје:

Сігналы абмеркавання $ц = е (- р т) \times (к \times П_{горе} + (1 - к) \times П_{доле}) ц = е (-рт) пута (к \ пута П_ \ текст {уп} + (1 - к) пута П_ \ текст {доле})$ ц = е (−рт) × (к × Пуп + (1 − к) × Пдовн)

Преуређивање једначине у смислу „к“ понудило је нову перспективу.

Сада можете протумачити "к" као вероватноћу померања према горе (јер је "к" повезан са П _уп, а "1-к" је повезан са П _дн). Свеукупно, једначина представља садашњу опциону цену, дисконтирану вредност њеног исплате по истеку рока.

Овај "К" је другачији

По чему се та вероватноћа "к" разликује од вероватноће померања према горе или силазног померања доњег дела?

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ВСП = к \times Икс \times у + (1 - к) \times Икс \times д \\ где: \\ ВСП = Вредност цене акција на време т \end{matrix} \ почетак {поравнање} & \ текст {ВСП} = к \ пута Кс \ пута у + (1 - к) пута Кс \ пута д \\ & \ тектбф {где:} \ & \ текст {ВСП} = \ текст {Вредност цене акција у времену} т \\ \ крај {поравнато}$ ВСП = к × Кс × у + (1 − к) × Кс × на другом месту: ВСП = Вредност залиха у тренутку т

Замјеном вриједности „к“ и преуређивањем, цијена дионица у тренутку „т“ долази на:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Цена акција = е (р т) \times Икс \end{matrix} \ почетак {поравнање} & \ текст {цена залиха} = е (рт) пута Кс \\ \ крај {поравнато}$ Цена залиха = е (рт) × Кс

У овом претпостављеном свету две државе, цена акција једноставно расте по приносу без ризика, тачно попут средства без ризика, и самим тим остаје независна од било ког ризика. Инвеститори су равнодушни према ризику према овом моделу, тако да то представља модел неутралан према ризику.

Вероватноће „к“ и „(1-к)“ су познате као вероватноће неутралне према ризику, а метода процене је позната и као модел процене неутралан према ризику.

Пример сценарија има један важан захтев - потребна је будућа структура отплате с прецизношћу (ниво 110 и 90 долара). У стварном животу таква јасноћа у погледу степена цена на основу корака није могућа; радије се цена креће насумично и може се подмирити на више нивоа.

Да бисте додатно разширили пример, претпоставите да су могући нивои цена у два корака. Знамо коначне исплате другог корака и данас морамо да вреднујемо опцију (у почетном кораку):

Радећи уназад, проредна процена првог корака (при т = 1) може се извршити коришћењем коначних исплата у другом кораку (т = 2), затим коришћењем ове израчунате процене у првом кораку (т = 1), данашње процене (т = 0) овим прорачунима се може постићи.

Да бисте добили цене опција на броју два, користи се исплата у четири и пет. Да бисте добили цене за број три, користи се исплата у пет и шест. Коначно, израчунати отплати на два и три користе се за добијање цена код броја један.

Имајте на уму да овај пример претпоставља исти фактор за померање према горе (и доле) у оба корака - у и д се примењују на сложени начин.

Радни пример

Претпоставимо да је пут опција са штрајкачком ценом од 110 УСД тренутно трговање на 100 УСД, а истиче за годину дана. Годишња стопа без ризика је 5%. Очекује се да ће се цена повећати за 20%, а смањиће се за 15% сваких шест месеци.

Овде је у = 1, 2 и д = 0, 85, к = 100, т = 0, 5

користећи горе изведену формулу од

Сігналы абмеркавання $к = \frac{е (- р т) - д}{у - д} к = \ фрац {е (-рт) - д} {у - д}$ к = у-де (−рт) −д

добијамо к = 0.35802832

вредност пут опције у тачки 2, Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} п_{2} = е (- р т) \times (п \times П_{упуп} + (1 - к) П_{упдн}) \\ где: \\ п = Цена опције опције \end{matrix} \ почетак {поравнање} & п_2 = е (-рт) пута (п \ пута П_ \ текст {упуп} + (1 - к) П_ \ текст {упдн}) \ & \ тектбф {где:} \ & п = \ тект {Цена пут опције} \ \ крај {усклађено}$ П2 = е (−рт) × (п × Пупуп + (1 − к) Пупдн) где је: п = Цена опције опције

У П _{упуп упингу}, основна вредност ће бити = 100 * 1.2 * 1.2 = 144 УСД што доводи до П _упуп = зеро

У П _упдн стању, основна вредност ће бити = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 УСД што доводи до П _упдн = 8 УСД

У условима _{д днн}, основна вредност ће бити = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 УСД што води до П _дндн = _{37, 75} УСД

п ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Слично томе, п ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

Сігналы абмеркавання $п_{1} = е (- р т) \times (к \times п_{2} + (1 - к) п_{3}) п_1 = е (-рт) пута (к \ пута п_2 + (1 - к) п_3)$ п1 = е (−рт) × (к × п2 + (1 − к) п3)

Отуда вредност пут опције, п ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 долара.

Слично томе, биномни модели омогућавају вам да прекинете цијело трајање опције на даљње рафинирање више корака и нивоа. Користећи рачунарске програме или прорачунске табеле, можете корак по корак уназад да бисте добили садашњу вредност жељене опције.

Други пример

Претпоставимо да је путна опција европског типа са истеком рока од девет месеци, штрајк цена од 12 долара и тренутна основна цена од 10 долара. Претпоставимо да постоји стопа ризика од 5% за све периоде. Претпоставимо да свака три месеца, основна цена може да се креће 20% према горе или доле, дајући нам = 1, 2, д = 0, 8, т = 0, 25 и биномно дрво у три корака.

Црвена означава основне цене, док плава означава отплату понуђених опција.

Невероватна вероватноћа „к“ рачуна на 0, 531446.

Користећи горњу вредност „к“ и вредности отплате за т = девет месеци, одговарајуће вредности на т = шест месеци рачунају се као:

Даље, користећи ове израчунате вредности при т = 6, вредности при т = 3, а затим при т = 0 су:

То даје данашњој вредности пут опције 2, 18 УСД, што је прилично близу ономе што бисте пронашли радећи рачунања користећи Блацк-Сцхолес модел (2, 30 УСД).

Доња граница

Иако употреба рачунарских програма може олакшати ове интензивне калкулације, предвиђање будућих цена остаје главно ограничење биномних модела за одређивање цена на опцијама. Што су временски интервали финији, то је теже предвидјети исплате на крају сваког периода са високом прецизношћу.

Међутим, флексибилност за укључивање промена које се очекују у различитим периодима је плус, што га чини погодним за цене америчких опција, укључујући процене ране вежбе.

Вриједности израчунате помоћу биномног модела уско се подударају с онима израчунатим из других најчешће кориштених модела попут Блацк-Сцхолес-а, што указује на корисност и тачност биномних модела за одређивање цијена опцијама. Модели биномних цена могу се развити у складу са преференцијама трговца и могу радити као алтернатива Блацк-Сцхолес-у.

Преглед садржаја: